Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda

Definujme maticu, pravú stranu, a počiatočný odhad a riešme definovanými iteračnými metódami

A = ({{7, -2, 1, 2}, {2, 8, 3, 1}, {-1, 0, 5, 2}, {0, 2, -1, 4}}) ;

Overenie:

Print["A x = ", MatrixForm[A . x], " ≈ ", MatrixForm[b], " = b"] ;

Overenie:

Print["A x = ", MatrixForm[A . x], " ≈ ", MatrixForm[b], " = b"] ;

Existujú také prípady, že Jacobiho metóda diverduje a Gauss-Seidelova metóda konverguje

A = ({{1, 0, 0, 2}, {1, 1, 0, 0}, {0, 1, 1, 0}, {-1, 0, 1, 1}}) ;

x = GaussSeidel[A, b, p, 5] ;

Ale aj naopak: Jacobiho metóda konverguje a Gauss-Seidelova metóda diverguje

A = ({{1, 0, 0, -1/2}, {1, 1, 0, 0}, {0, 1, 1, 0}, {2, 0, 1, 1}}) ;

p = {2, -1, 1, 1} ;

Prečo je to tak? O tom, či metóda bude konvergovať rozhoduje absolútna hodnota vlastných čisel iteračnej matice (diverguje ak |λ| > 1):

p = {2, -1, 1, 1} ;